很多数学的逆计算比正计算要难很多，这是什么原理？

实际上，加法也是减法的逆运算，乘法也是除法的逆运算等等
那么按你的说法，是不是微分要比积分难呢
逆运算和正运算本是相互的，你只是先入为主认为某某是正运算
因为你先学了某某运算
而你先学习某某运算，往往就是因为它更简单。

至于有的可能被定义为某某运算，而它的逆运算被定义为某某逆运算
一般是这种运算先被发现
我觉得是：简单的规律更有可能先被发现，复杂的规律建立在简单规律之上，
这是人类认识世界的方式之一。
当然也有反例，比如先有对数再有指数等等。
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突然我想到了Fourier变换，明明和Fourier逆变换形式相近
凭什么它是变换，而那个是逆变换，这样定义是不是对逆变换很不公平
还有为什么男演员要叫actor，女演员要叫actress
为什么要把电子的电荷定义为负的，每次计算都更不方便一丢丢
为什么要把逆时针的路径定义为正方向
太！不！公！平！了！

根据熵增 世界的方向是有序变无序 由一个整体变得越来越多 越来越细化 就是正向（所有生物同源、道生万物……） 这种变化不可逆 被人类感知到就变成了时间
现实世界的熵减是不存在的 因为目前为止“时间是不可逆的” 变化是不可逆的

所以世界万物都在熵增 所以当人发现一种新看待世界或者解决问题的方法时 这个方法表达的场景一定是顺着世界方向的也就是熵增 而它们出现的本身也是熵增 比如加法乘法微分 而减法除法积分则是相对于加法乘法积分之后才出现的 他们本质也属于熵增 但是他们作为逆向运算的过程属于在模拟熵减 当在模拟一件事的时候消耗的功就比直接来要更多 类似各种模拟器 都属于逆向工程
放到生活里 你做的任何一件事 对任何事物施加影响改变了其状态 甚至你活着本身 都属于做熵增做加法 想要逆着来本质上是不可实现的 就像泼出去的水收不回来 破镜不能重圆 人死不能复生 而作为熵减的模拟 这种数学运算已经是最基本的了

逆向工程本来就比正向难。最典型的就是加密解密。用最常用的RSA加密来说，两个大质数相乘瞬间就能得到结果，但你想把这个结果反向表示为两个大质数就难的多了去了。

https://en.wikipedia.org/wiki/P_versus_NP_problem

The P versus NP problem is a major unsolved problem in computer science. It asks whether every problem whose solution can be quickly verified can also be solved quickly.

It is one of the seven Millennium Prize Problems selected by the Clay Mathematics Institute, each of which carries a US$1,000,000 prize for the first correct solution.

怎么这么多人都没说出答案,其实是这样:
你对一个运算定义为F(x)好了,
当你说到词语逆运算时,你是怎么理解的?
通常是将"逆"字当成一个新的无确定表达式的函数G(x),
然后逆运算是G[F(x)].
你只要理解F(x)就能进行F(x)的运算,
但要进行逆运算,你不仅要理解F(x),
还要找出正确的G(x),然后再在脑海中形成G[F(x)]的概念,
所以永远有逆运算的工作比正运算工作庞大,
只因你构建逆运算的思路是这样.

墒是增加的。把一个破碎的杯子还原要比打碎杯子难的多。

这里面没什么哲学，学界有一类问题叫反问题。比如说给你一个函数，你去找其极小值是一个问题，反问题就是已知极小值，去把函数找出来，当然这个反问题很简单了。其实，您要是乐意，破案也是个作案的反问题。
        一般来说那些值得研究的反问题主要的困难是条件不够，找不到唯一解，所以要加很多人工条件，那就直接成艺术了。
        我个人觉得，反问题本身就是个标签，跟计算机科学里面那些无穷无尽的名词一样，本身并没有太大的内涵。并不存在一种常用的解决反问题的方法，也没有反问题理论。

因为简单的总能先被发现，所以被定义成「正运算」。如果一个运算是可逆的，那何为正运算何为逆运算都是相对的，人们常常把简单的常用的那个定义为正运算。

当然也有反例，像是拉普拉斯/傅立叶变换的正逆运算都是积分，计算难度一样，实际应用中都是要么查表要么数值化。

因为逆运算本质是searching,虽然广意上和正运算都算computing, 但实际上,计算复杂度不一样,在微观层面正运算遵循既定规则按步骤来procejure fixed and bounded,而逆运算是在potentially infinite, known or unknown solution space searching the right match,搜索符合要求的结果,搜索过程长短取决于对应的解的空间大小.

你舉得例子不恰當。
確實存在這種現象，最常見典型的是應用廣泛的非對稱加密算法。
這個問題属於信息論范疇。
當輸入集大於結果集，稱為熵增。反之，稱為熵减。
熵增複雜度高於熵减。因為需要處理的信息量不一樣大。
在一個n元熵增函式中，若結果集是是輸入集的m倍。那麼，此熵增函式對應的熵减函式需要處理的信息量的倍率是m^n。

解壓縮比壓縮易，解密比加密難（無密碼暴力破解），解密比加密易（已知密碼）

例子不恰当。加减乘除算法难度相同

真正逆运算难的就是质因数分解，正向和逆向速度差着数量级。这也是现代加密的基本原理。

在一般情况下并不成立， 但是有一类特殊的函数，密码学里面叫做单向函数（one way function)正好满足你要的那种性质，即给一个x，算f(x)相对容易，而给一个y，找一个x使得f(x)=y很难

同学，首先可逆与否本身就需要确认，不是所有mapping都是one-one的；而且inverse problem即使有解也不一定Well-posed。

只是个定义的问题

如果定义简单的那个方向是‘正’而另外一个方向是‘逆’ 就肯定会出现‘逆’比‘正’复杂的情况

反过来 也可以说

乘法是除法的逆运算 但乘法比除法简单

哲学不知道 科学上来说确实和 水浅茶清 提到的墒增有类似之处

一个简单的回答：你拉屎容易还是吃屎容易？
字数字数字数字数字数字数

把一头活猪变成一堆猪肉很容易
但把一堆猪肉还原成一头活猪，几乎不可能

_ _ 數學運算的單向性, 正向運算的時候結果收斂, 逆向運算的時候結果發散. 電腦科學和基礎數學聯係最廣和最強的領域密碼學.

[除了上一句下面都是雜亂的串燒]
_ _ 噢迷人的 NP 問題,  還有圍棋先手必勝或必不敗的最佳策略或會耗盡宇宙原子來存儲, RSA 和橢圓曲綫算法仍在保守秘密. 一切皆從除法的一種, 模運算 mod 開始, 是群是集合之力. 謎底或許是圖靈機+預言條帶, 更可能是量子機中的秀爾, 人們在想象超電腦的模樣. 我只有零知識證明和多指令 CPU, 不能在單或零指令處理器上工作. 或許會有一切計算都都於常數時間完成的那天, 可否再進一步讓其爲一甚至零. 在思緒瘋狂奔流的彼岸與康托爾、沃利斯和萊布尼茨等一衆先賢游歷壯麗盛景... 但這回復依然要一次操作.

正反运算互为对方的反正运算。所以你说的东西 并不成立 加法是减法的逆运算 减法也是加法的逆运算。 正反只是相对的概念 不是绝对的概念。