泰勒先生去世了，这非常遗憾

抱抱，生命無常

如果有時候想起憂傷的事情，玩一下俄羅斯方塊？

Quote from her the Majesty

But life, of course, consists of final partings as well as first meetings;

I think her message applies to life overall,

https://www.royal.uk/christmas-broadcast-2021

And it is the moment shared with you matters the most

>>@Artemis
wecenter已经加入ai算法了？很惭愧，本蛤还要学习一个

已隐藏

@佐助 你对于无理数和有理数非常感兴趣，这是数学分析的最初一章，里面也有很多有趣的问题，让我们从这一部分开始聊吧。请问你对于实数概念的构建还有印象吗？

>>@佐助 你对于无理数和有理数非常感兴趣，这是数学分析的最初一章，里面也有很多有趣的问题，让我们从这一...

我不是很擅长纯粹数学，没有实际用途的数学定理，我即使学会了也很容易忘。
如果你能说出，实数概念能应用在什么地方上，有助于我理解它的意义。

>>@佐助 你对于无理数和有理数非常感兴趣，这是数学分析的最初一章，里面也有很多有趣的问题，让我们从这一...

比如，高等代数里的克拉默法则，它是有实际用途的，所以我印象很深刻。

>>我不是很擅长纯粹数学，没有实际用途的数学定理，我即使学会了也很容易忘。如果你能说出，实数概念能应用在...

Yes of course
实数概念背后站着的是我们对空间的距离的理解：让我们用0标记一条直线的某个点并作为起点，到底引入多少数字，才足够标记这条直线上的每个点？这既是数学分析其它知识的开始，也是我们以量化的视角研究各种几何学科的开始。
现在我来问你一个问题，你认为为什么不是所有的实数都是有理数？

>>Yes of course实数概念背后站着的是我们对空间的距离的理解：让我们用0标记一条直线的某个点...

根号2就不是一个有理数。
虽然我们认为，有理数和无理数是一样多的。
实际上，你在数轴[0,1]区间上取一个点，大概率是无理数，能戳到有理数的概率几乎为0。
对此我也是感到很矛盾。

我猜你一定有更好的证据。

数字的有些特性实在是奇怪。
比如，[0,1]区间，和[2,4]区间，哪个区间的数字更多。
它两居然是一样多的，都是无穷多的。
但从直觉看，很明显，[2,4]区间是[0,1]区间两倍多。

>>根号2就不是一个有理数。虽然我们认为，有理数和无理数是一样多的。实际上，你在数轴[0,1]区间上取一...

是的，根号2是一个无理数。而最初让我们想象根号2所在的事实，是一个直角边长为1的等腰三角形的斜边长，或者一个面积为2的正方形的边长。我们认为这样的等腰三角形和它的“斜边长”存在，也认为面积为2的正方形存在，而不是一种错觉，所以我们可以合理化“根号2”这个数字的被引入。假如我们否认无理数的存在，这个世界的几何将会不再有我们熟悉的一些东西，例如“圆的周长”这回事，但我们熟悉的另外很多东西会留下来，例如面积为1的正方形。
而另一个话题，关于有理数和无理数的“数量”比较，我在品葱上其实讲过（见https://pincong.rocks/article/item_id-1252788），可以来看看。这是“集合的势”的知识，也是数学分析的内容，虽然你已经遗忘了这门课的大部分内容，但这个回复即使是没有基础的人也能看懂。我展示了为什么不像[1,2]和[2,4]的“无穷”的元素可以一对一对应，实数则是不可能被有理数一对一地对应完的，这也就暗含着无理数的“数量”大于有理数。

根号2是无理数的证明是入门学生的习题，我相信你完全会做它。现在我会给出另一个考验，请问，如何证明根号3为无理数？

>>数字的有些特性实在是奇怪。比如，[0,1]区间，和[2,4]区间，哪个区间的数字更多。它两居然是一样...

对了，这里有一个事情被我忘记说了：自然数集的元素“数量”（势）是等于有理数集的，这也是为什么我刚才回复给你这个结论，尽管那个链接里是证明实数集的势大于自然数集。
以下是自然数集的势等于有理数集的证明：https://pincong.rocks/article/item_id-1225341

再抱抱哦

>>再抱抱哦

thank you, let me hug you back!

>>thank you, let me hug you back!

謝謝😊

>>是的，根号2是一个无理数。而最初让我们想象根号2所在的事实，是一个直角边长为1的等腰三角形的斜边长，...

如何证明根号3为无理数？
这个问题难倒我了，我回想学校里教的。
1.7×1.7=2.89
1.75×1.75=3.0625
1.725×1.725=2.975625
1.73×1.73=2.9929
就这样，一点一点逼近3，不断取中间值，但永远得不到完整的3。
永远有一个剩余，且这个剩余不能表示为有理数之间的加减乘除。

华罗庚为了找最优值，还发明了优选法。

还有一种就是，假定(a/b)^2=3，最后证明，a和b必有一个不能表示成有理数之间的加减乘除。
这个我也不会做，学校没教过，考试也不考。

>>如何证明根号3为无理数？ 这个问题难倒我了，我回想学校里教的。1.7×1.7=2.891.75×1....

别担心，我会展示答案：
假设√3为有理数，则我们可以写√3=p/q，其中p与q为正整数，且p/q已被化到最简。
则3q^2=p^2
2q^2=p^2-q^2
2q^2=(p+q)(p-q)
显然，在给定正整数p与q(p>q)的情况下，p+q与p-q要么都是偶数，要么都是奇数，而它们相乘的结果2q^2为偶数，所以p+q为偶数，p-q也是。
那么不妨写p+q=2m, p-q=2n，其中m与n为正整数。
则2q^2=2m*2n
q^2=2mn
由于q的平方为偶数，我们可以得出q为偶数。而结合p+q为偶数，我们知道，p也是偶数。
既然p和q都是偶数，那么这会和p/q已被化到最简的假设矛盾。

>>如何证明根号3为无理数？ 这个问题难倒我了，我回想学校里教的。1.7×1.7=2.891.75×1....

我希望我给出的两个链接能够回答你的关于有理数和无理数的数量的疑惑，如果你已经读完了它们并且理解了，我们就可以继续了。在这个过程中，如果遇到任何问题，可以随时问我。

>>别担心，我会展示答案：假设√3为有理数，则我们可以写√3=p/q，其中p与q为正整数，且p/q已被化...

我认真地看过了，我花在你的回复上的时间，已经超过了我一天中用于逛品葱的总时间。
整个证明的确很高明。
人比人，气死人，我怎么就想不到呢。
我看公式，习惯于动手抄写，光是眼睛盯着看，感觉理解起来很费力。

我感到很神奇，“既然p和q都是偶数，那么这会和p/q已被化到最简的假设矛盾。”

我还看了你给我的那个一千多回复的帖子，您对数学的热爱实在是太了不起了。
那个帖子感觉干货很多，足够出书了。
但楼层并不连续，跳来跳去的，看得很吃力。

>>我认真地看过了，我花在你的回复上的时间，已经超过了我一天中用于逛品葱的总时间。整个证明的确很高明。人...

感谢您的宝贵时间，周末的闲聊是美妙的。如果任何时候你有兴趣，我们都可以来谈论。对于数学分析这门课程，中国各所大学用的教材各不相同，对本质性的思考讲解的深浅也各不相同。在中文世界里，我推荐李逸先生的的《基础分析讲义》, 它深入灵魂地介绍了每个数学分析的理念, 将几乎每个知识的来龙去脉,乃至是历史和数学家的事迹都详细地进行了介绍；而在英文教材里我首先推荐Terence Tao先生写的Analysis, 它从一个现代的视角展开叙述, 同样对于知识的本质非常深入, Tao先生作为数学天才的独特解读被很好地体现在里面. 这两本教材不仅本身写的不错, 而且考虑到您喜爱形象理解, 喜爱把数学和现实及历史结合在一起，它们对于您的个人特质应该也是比较适合的。
而Rudin先生所写的Principles of Mathematical Analysis的名气很大, 我却不推荐它, 这是因为它虽然知识到位, 但对于本质和知识由来挖掘不深, 并且语言风格较为无聊.

>>感谢您的宝贵时间，周末的闲聊是美妙的。如果任何时候你有兴趣，我们都可以来谈论。对于数学分析这门课程，...

感谢分享一份沉甸甸的大礼。
我翻了翻《基础分析讲义》，瞧瞧里面那些例题，震惊到下巴要掉下来，这太高级了。

数学真是一个高雅的爱好，多研究数学能净化心灵。

我以前问过一个问题《网上公布了姜萍参加的2024全球数学竞赛决赛试题，有葱油会做吗？》
搜索“姜萍参加的2024全球数学竞赛决赛试题公布”关键词，就能找到试题了，总共13页，每页大概4个题。
https://pincong.rocks/question/68113

>>我以前问过一个问题《网上公布了姜萍参加的2024全球数学竞赛决赛试题，有葱油会做吗？》搜索“姜萍参加...

我之前花2小时看过这些题，仅仅有一道题是被做出来的，其中涉及较为复杂的运算，后来因为失去兴趣就离开了。在上学期，我也看过一些大学生竞赛题（高年级），诚实地说，相比之下阿里巴巴的这份竞赛题是很有难度的，而且处理算式的功底要求很深，我决定以后再研究一下它。
然后，我很高兴看到你对《基础分析讲义》的认可，我们学校的部分中国老师已经开始使用它讲课，我在他们的推荐下阅读了它——天啊，这是个数学分析的百科全书。而我，风格就像在品葱一样，拿一本Jay Cummings的Real Analysis（此书以幽默著称）作为参考，但它甚至不是主要的，在课堂上我会即兴地发明一些问题并当场考验。

>>我之前花2小时看过这些题，仅仅有一道题是被做出来的，其中涉及较为复杂的运算，后来因为失去兴趣就离开了...

我要是学数学时，有像您这样的老师就好了，有啥问题都可以请教你。
我的问题大多是“书上这句话是什么意思”，你三言两语就能替我解释好的。

如今我参加了工作，数学竟然一点用途都没有了。
我迫切需要这么一个人，他能告诉我，你去掌握某一套公式吧，它能解决工作中的难题。
数学是学海无涯的，得有人替我挑出重点来。

需要乃学习之母。
用途能促进人们理解数学公式，比如某个数学公式有用途的话，我一下子就能理解公式了。
泰勒公式是有用途的，能用来计算sin(0.5)是多少。

>>我之前花2小时看过这些题，仅仅有一道题是被做出来的，其中涉及较为复杂的运算，后来因为失去兴趣就离开了...

您提到过一个狄利克雷函数，我非常想请教您一个问题。

案例一：
假如有1000人，他们每人拥有100元。
每个人都是一个红点，他们在一个广场里随机漫步。
两两相遇后，其中一个把1元钱交给另一个人，谁给谁钱是随机的。
足够长的时间后，财富的分布会趋于稳定。
把这1000人排序，横轴1代表最有钱的人，2代表次有钱的人，3代表第三有钱的人，以此类推。
纵轴是他们拥有的钱数，全部积分，他们总共拥有10万元。
画出来的图像是一个是什么函数？它有方程吗？是不是迪利克雷分布呢？

案例二：
假如有1000人，随机抽签，抽中谁就给谁1元钱。
这样的抽签进行了100000次，终于停止了。
把这1000人排序，横轴1代表最有钱的人，2代表第二有钱的人，3代表第三有钱的人，以此类推。
纵轴是他们拥有的钱数，全部积分，他们总共拥有10万元。
画出来的图像是一个是什么函数？它有方程吗？是不是迪利克雷分布呢？

案例一和案例二得到的结果会是相同的分布吗？
这个东西是可以用代码模拟的，也可以推导的。

“每个人都是一个红点，他们在一个广场里随机漫步。
两两相遇后，其中一个把1元钱交给另一个人，谁给谁钱是随机的。”
效果是否可以等同于，“从1000人中随机抽中2人，然后其中一个把1元钱交给另一个人”？

>>您提到过一个狄利克雷函数，我非常想请教您一个问题。案例一：假如有1000人，他们每人拥有100元。每...

Good day，我提到的迪利克雷函数是用来区分有理数和无理数的函数，并不是迪利克雷分布中的概率密度函数，后者的图像是可以被形象想象的。
而你提到的两个案例都并不是迪利克雷分布，因为后者是连续的概率分布，你提到的两个案例是离散的；而且你提到的两个案例的纵轴取值不是一个阶层的人数而是它的金额总数。
这两个案例很难被写出具体的表达式，但是我们可以说，针对阶层人数而言，案例一和案例二都和K=2，α1=α2>1时的迪利克雷分布图像有类似之处，且案例二模拟高斯分布是较好的。
对于最后一个问题：在决定阶层的人数分布上这两种行为是一致的，但对于个人状态而言，显然就不是了。
然后，对于迪利克雷分布的性质，我建议你先学习数学分析的基础部分，熟悉如何定义和描述积分，并了解Γ与β函数的性质。而如果对分布问题进行深入挖掘，就会属于概率论的讨论范围，对此我不是较为专业的，但我肯定是能帮到哪里就到哪里。

>>Good day，我提到的迪利克雷函数是用来区分有理数和无理数的函数，并不是迪利克雷分布中的概率密度...

我这个表述的确很不规范。
案例一是个什么分布，我也说不上来。
但案例二确实是个正态分布。
迪利克雷分布必须是连续的，那么能否拿迪利克雷分布“拟合”不连续的分布呢？

我感觉脑子里全是问号，却又不知道如何表达。
品葱有个用户叫Iyy的那位，只要别人和他说话，他就说你的逻辑有问题。
我在谈论数学时，也有同感，只要我开口说话，我的表述一定出问题。
毕竟我没写过数学领域的论文，学校里仅仅是做题而已，毕业后彻底扔掉了数学。

开个玩笑，医生可以开医院，你有什么病看医生，医生不会说，你应该去看《内科学》。
如果数学家和医生一样，也开个数学院，你有什么问题不会，拿给数学家，他们能给你解答。

>>我这个表述的确很不规范。案例一是个什么分布，我也说不上来。但案例二确实是个正态分布。迪利克雷分布必须...

Haha, this joke got me.
当然，连续和不连续的函数图像可以被用来相互拟合，因为在严格定义上，高斯分布也是连续的，所以对于案例二，我的描述正是以其来拟合高斯分布很好。
不要担心对于你的数学表达，任何人犯一些错误，如果你重新熟悉它的概念和逻辑，一切都会像一块蛋糕一样简单。
今天，我是已经无课的，让我们来谈论一个新的有趣问题（从《基础分析讲义》而来）：
有一个数学家试图证明“人人生而平等”以数学归纳法。他表示，让我们把这一命题在世界上有n个人的时候称为命题P(n)，假如P(n)是正确的，那么当世界上有n+1个人的时候，我们把一个幸运儿A区别出来，剩下的人形成的团体有n个人，由于P(n)正确，我们知道该团体的所有人都是互相平等的；接下来，我们把该团体的某人B挑出来，剩下的人和A视作一个新的团体，该团体也由n人组成，所以他们相互平等。由此可见A、B与其他人都是平等的。所以P(n)正确的前提可以推出P(n+1)正确。
现在让我们审视，P(1)是显然正确的，所以对于任意正整数N，P(N)正确，即“人人生而平等”。
请问他的证明有什么问题？

>>Haha, this joke got me.当然，连续和不连续的函数图像可以被用来相互拟合，因为在...

我足足想了有20分钟，我从未见过类似的证明过程。

P(1)是显然正确的，假如P(n)是正确的，同时P(n+1)也是正确；那么P(n)就是正确的。
他犯了循环论证的问题，由P(n+1)是正确的，推出了P(n)是正确的。
P(n+1)和P(n)必须是同时分别正确的，不能是先后正确的。

>>我足足想了有20分钟，我从未见过类似的证明过程。P(1)是显然正确的，假如P(n)是正确的，同时P(...

这是个惊艳的尝试！
不过，我想问题所在并非如此，请问你想再试一次吗？或者让我揭晓答案于现在？

>>这是个惊艳的尝试！不过，我想问题所在并非如此，请问你想再试一次吗？或者让我揭晓答案于现在？

我绞尽脑汁又想到一个理由，不过还不如前一个理由听起来像话。

“人人生而平等”，并不是人真的平等，他们拥有同样的金钱、同样的天赋、同样的成就。
而是，我们把他们看作是平等的，在法律面前一律平等。

“人人生而平等”是一个规定，而不是一个结论。
规定是没有对错之分的，不能证伪或证明。
就好比，我们规定，低于60分的学生，属于不及格。
你不能证明我是错的，说存在某些证据，能证明低于60分的学生也属于及格的。

>>我绞尽脑汁又想到一个理由，不过还不如前一个理由听起来像话。“人人生而平等”，并不是人真的平等，他们拥...

回复测试

品葱的“网络连接中断”真是让人暴怒，明明什么问题都没有，为什么非要阻止我回复？

现在我的回复已经展示在图片里了。

>>我绞尽脑汁又想到一个理由，不过还不如前一个理由听起来像话。“人人生而平等”，并不是人真的平等，他们拥...

Hey bro, did you see my reply in the image? It seems I forgot to @ you somehow, sorry for that.

>>品葱的“网络连接中断”真是让人暴怒，明明什么问题都没有，为什么非要阻止我回复？现在我的回复已经展示在...

原来如此，从n个人里挑出一个人，看剩下的人是否平等，这个操作对p(1)是不合法的。
p(1)本身就是有问题的，不能得出平等的结论，应该从p(2)作为起点开始证明。

你要是事先不说，让我看错在哪里，我都不认为这个过程是有误的。
“P(n+1)和P(n)必须是同时分别正确的，不能是先后正确的。”是完全没道理的。
因为 P(n)正确的前提可以推出P(n+1)正确，我对这个过程感到困惑，所以觉得这里有误。
我这实在是太不严谨了，而且没抓到重点。

图片的信息量非常大，能看出很多细节，我看到你的电脑屏幕。
你使用的是火狐浏览器，并使用了page shadow插件，把屏幕亮度调到40%。

>>原来如此，从n个人里挑出一个人，看剩下的人是否平等，这个操作对p(1)是不合法的。p(1)本身就是有...

谢谢提醒对于社工安全，然而，现在已经有葱油在线下认识我了，疑似有点晚了💀
你做的非常好，一瞬间理解了背后的原理，数学需要你！🔥🔥🔥

其实，我放在最后的问题是一个数理逻辑里的计算思想的问题，“先后”是用于形容一个进程的。有一个题目条件在数学公理下构成的情景——它用进程的语言来理解的话是永远不变的，一个事实在那里，就始终在那里——和我们解题所用的推理进程的区分问题在此，后者是我们可以通过“顺序紊乱”来批评循环论证的由来。

>>谢谢提醒对于社工安全，然而，现在已经有葱油在线下认识我了，疑似有点晚了💀你做的非常好，一瞬间理解了...

我搞数学有个致命的弱点，我书写很复杂的公式时，经常把上下角标、符号、变量给写错。
对这个问题十分苦恼，为了保证正确，我都是写得非常慢、非常细致。
这对于考试和日常学习非常阻碍，取得成果是不可能的。
能够把别人的东西弄明白，我就快累死了。

我对数学最高的期望就是，我能知道哪些公式是有用的，并且知道它有什么用。

准确来说，“先后”是用于形容时间的。
数学公理在时间上是永远不变的。

推理进程是流程顺序，先干什么，再干什么，就好比煮面要先放水，再加热，然后放面。
反过来，先放面，再加热，再加水，就是错的。

你按照这个顺序，只能往前走，不能倒退和转圈，否则一定是顺序有误。
由于多个前提能够合并成一个更复杂的结论，数学公式不可逆转地变得越来越复杂。

>>我搞数学有个致命的弱点，我书写很复杂的公式时，经常把上下角标、符号、变量给写错。对这个问题十分苦恼，...

“先后”既可以用于形容时间，也可以用于形容进程，因为此时这个词语的用法是不一样的。
时间是某些进程的一个参数，用来辅助顺序的描述，给每个步骤以时刻的标记。然而，不是所有的进程都有时间，有些进程只包含步骤及其顺序。但无论如何，我们都可以使用先后的概念。

>>“先后”既可以用于形容时间，也可以用于形容进程，因为此时这个词语的用法是不一样的。时间是某些进程的一...

您是否好奇过，宇宙的起源，时空的起源，宇宙的结局，这类型的东西？

>>您是否好奇过，宇宙的起源，时空的起源，宇宙的结局，这类型的东西？

当然，我是一个物理爱好者。而我相信各种参考系的时空和它们的事件绝非宇宙的全貌——尽管有人用热力学定律和一些公理判断了这部分东西的大致趋势——我们只是当前想到了这里和研究到了这里，它的“起源”或“结局”会是远超复杂的，这些年来我不时打听有没有新消息出现。

一辆出租车在夜晚肇事后逃逸。

这座城市有两家出租车公司，其中一家公司的出租车是绿色的，另一家是蓝色的。

你知道以下数据：
·这座城市85%的出租车是绿色的，15%是蓝色的。
·一位目击证人辨认出那辆肇事出租车是蓝色的。

当晚，警察在出事地点对证人的证词进行了测试，得出的结论是：
目击者在当时能够正确辨认出这两种颜色的概率是80%，
错误的概率是20%。

这场事故的出租车是蓝色而不是绿色的概率是多少？

答案是41%，用贝叶斯定律得出的，请教它是怎么算的？

出租车是蓝色，目击证人猜对，概率是0.15×0.8=0.12；
出租车是绿色，目击证人猜错，概率是0.85×0.2=0.17；
出租车是蓝色，目击证人猜错，概率是0.15×0.2=0.03；
出租车是绿色，目击证人猜对，概率是0.85×0.8=0.68；

P(A∩B) = P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)。
如上公式也可变形为：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)。

(0.8×0.15)/(0.8×0.15+0.2×0.85)=0.41
虽然我考虑一个小时，瞎碰出了答案，还是感到非常疑惑

我虽然算出了答案，但我没有用贝叶斯定律。
因为我不知道贝叶斯定律里的P(A|B)、P(B|A)、P(A)、P(B)数字是多少。
或者说，它们的意义是什么？
P(A|B)、P(B|A)有什么不同？
P(出租车是蓝色的|目击证人猜对)、P(目击证人猜对|出租车是蓝色的)有什么不同？

P(出租车是蓝色的|目击证人猜对)=0.12/0.8
P(目击证人猜对|出租车是蓝色的)=0.12/0.85

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)。
0.12/0.8=0.12/0.85×0.85/0.8

倒是符合贝叶斯公式，但没有算出我不知道的东西来

>> 我虽然算出了答案，但我没有用贝叶斯定律。因为我不知道贝叶斯定律里的P(A|B)、P(B|A)、...

晚上好，贝叶斯定理中P(A|B)和P(B|A)的区别在于，前者意思是，当B的发生已经被默认（无需考量概率）时，A发生的概率是多少；后者是反过来。若你感到它们容易被视为一体，最有可能的原因是它们最终都在你的脑海中提到了“A∩B”这一事件，而这容易产生“我正在思考A∩B的概率”的感觉。实际上P(A|B)与P(A∩B|B)是一回事，这既是这种对于学习者而言容易混淆的原理所在，也是为什么贝叶斯定理是一件不证自明的事。

假如我有一副纸牌，扔掉大小王，还剩下52张牌。
我随机从中抽取6张纸牌，这6张纸牌中包含了4种花色的概率是多少。


您还记得这个问题吗，我拿它去考chatgpt了